SYARAT PENYELESAIAN ROOT LOCUS

Penyelesaian Root Locus Problem :

Dalam menyesailan persoalan yang menyangkut root locus di Control automatis yaitu :

1.       Jumlah cabang sama dengan jumlah close loop Pole.

2.      Mulai di poles dan berakhir pada zero dari system G (s) H (s)

3.      Symmetries pada real axis

4.      Real axis Root Locus berada daerah kiri di tambah jumla dari pole atau zero dari G(s)H(s)

5.      Root Locus di arahkan dengan garis lurus asymtotes sebagai root locus mendekati tak hingga (∞).

Maka : σ = (Σ finite poles – Σ finite zeros) / (jumlah finite poles – jumlah finite zeros)

             θ = + π (2 i +1) / (jumlah finite poles – jumlah finite zeros)  dimana i = 0, 1, 2..

Contoh :

G(s) H(s) = 1 / ((s+1) + (s+2))

Maka:

Zero : ∞, ∞  ; poles : -1, -2

Asymtotes : σ = (-1 + (-2))/(2-0) = -3/2

                      θ = + π (2 i +1) /2

             jika i = 0 maka 180 /2 = + 90 ;

maka sketching root locus :

SKETCHING OF ROOT LOCUS

Sketching Root Locus:

Menyelesaikan soal control otomatis Root Locus

Soal :

1 Dibawah ini adalah system control R.L

G(s) = 1/(s(s + 4))

Dari aturan yang ada yaitu :

Ada 2 cabang : dan dimulai dari : s = 0, -4 dan berakhir ke s = ∞ , ∞

Maka asymptotes :

 Maka  σa = (0 + (- 4) – (0))/(2-0) = -2 dan θa = (2 i + 1) π/2 = π/2, - π/2 ( i = 0,1,2…)

Axis bilangan nyatanya adalah  antara 0 dan -4 dari Root Locus kita.

Root Locus adalah symmatris di antara axis nyata K < 0 over dumped

Contoh : 2

Persamaan G(s) = 10 /(s(s+5)(s+10) pada system feed back yang sama

Dara aturan yang ada maka:

Jumlah cabang adalah 3 : s = 0,-5, -10 dan berakhir pada s = ∞ , ∞, ∞

Asymtotes :

σa = (0 + (- 5) + (-10))/(3-0) = -15/3 = 5 dan θa = (2 i + 1) π/3 = π/3, - π/3 ( i = 0,1,2…)

maka:

sketching R.L nya adalah :

Contoh 3:

G (s) = (s+3)/s(s+3) pada feed back loop, gambarkan R.L. dan hitung K yang berhubungan ke titik “ Melewati Imaginer axis dan berhungan dengan poles.

Jumalah cabang = 2 mulai dari s = 0,3 dan berakhir pada s = -3, ∞

σa = (0 + (- 3) - (-3))/(2-0) = 6 dan θa = (2 i + 1) π/1 = π, ( i = 0,1,2…)

menghitung K ;

1.      Menggunakan kriteria magnitude:

T(s) = N(s)/(s² + 3s + Ks + 3K) = K  G(s)/(1 + K G(s)

     s²     1    3K

     s¹    K-3  0

     s⁰     3 K

Jika K =3 maka garis menjadi nol maka akan memotong garis imaginer

Jadi

T(s) = N(s) / (s² + 9) =

T_1,2 = + 3 j

2.      Menggunakan kriteria sudut :

Persamaan 1 : a + 90 – b = 180

Persamaan 2 : a + b         = 180 –

                             2 b       = 90

                                b       = 45

x = 3  à σ_1,2 = + 3 j

K | G(s) | = 1 ; | G(σ₁)| = l/l x1 = 1/3

K = 3